Cubo 3x3x3

Entendendo e Resolvendo o Cubo de Rubik sem Decorar

9. Comutadores e Conjugados (É só o que você precisa!)

Vamos agora aprender dois conceitos poderosos, sim, poderosos porque somente com esses dois conceitos você resolve todo o cubo!

Então porque não vimos isso logo no início?

Por dois motivos: i) porque esses conceitos exigem justamente um bom conhecimento dos conceitos vistos até agora e ii) porque o uso exclusivo de comutadores e de conjugados na solução do cubo exige muito mais trabalho do que a estratégia vista até agora, então é melhor usá-los só no final.

Primeiramente veremos o conceito mais complexo, o de movimentos comutadores.

Restam, nesse ponto, até 5 cantos para serem resolvidos, se você tiver mais sorte restarão menos. Vamos resolvê-los em duas etapas:

Colocar os cantos nos locais corretos.
“Girar” os cantos para que suas cores fiquem nas orientações corretas.

Para isso usaremos comutadores e conjugados, mas antes vamos aprender mais algumas “leis” do cubo.

Existem algumas situações que são matematicamente impossíveis.

Você já viu que é impossível ter apenas um edge invertido no cubo, como na Figura 9.1. Essa configuração é matematicamente impossível! Contudo, é possível ter edges, aos pares, com as cores invertidas.

Também é impossível ter somente dois cantos trocados, como ilustra a Figura 9.2. O mesmo vale para os edges. Tanto os cantos quanto os edges só podem ser trocados em trios.

Conhecimento importante: é impossível ter apenas 2 cantos trocados. Os cantos sempre estarão trocados em trios, o mesmo ocorre para os lados.

Isso significa que existem seqüências de movimentos capazes de trocar apenas 3 cantos de lugar entre si. É isso mesmo! É possível trocar apenas 3 cantos de lugar sem desmanchar qualquer outra parte do cubo!

Esse tipo de movimento, no qual apenas algumas peças trocam de lugar, sem alterar qualquer outra parte do cubo, é conhecido como movimento comutador.

Um comutador usa, basicamente, a combinação correta de movimentos de “vai e volta” (capítulo 4) e “vai, troca e volta” (capítulo 5) de tal maneira que ocorra apenas uma comutação de peças.

Para isso fazemos a intersecção de procedimentos de "vai e volta", de tal forma que a maior parte dos movimentos se cancele fazendo com que grande parte das peças volte à condição original, exceto poucas peças.

Por exemplo:

Procedimento 1: vai - troca - volta - vai - destroca - volta (veja a Figura 9.3a)

Procedimento 2: reposicionamento - desfaz reposicionamento (veja a Figura 9.3b)

Obs.: você pode alternar entre os procedimentos 1 e 2 na Figura 9.3 usando as setas (◁▷) no canto superior direito.

Note que os procedimentos 1 e 2 separados são movimentos de “vai e volta”, tudo o que é feito é desfeito.

Vamos verificar calmamente o primeiro procedimento. Clique em iniciar (∣◁) na Figura 9.3a e, passo a passo, clique em avançar (⧐). Já sabemos (do capítulo 5) que o vai-troca-e-volta não afeta a camada superior, com exceção do canto que é intencionalmente trocado. Infelizmente, as duas camadas inferiores ficam embaralhadas. Contudo, podemos consertar isso simplesmente revertendo o procedimento de vai-troca-e-volta.

Mas, em que isso ajuda se tudo volta à posição original?

É aí que entra a jogada de mestre! Antes de revertermos o movimento de vai-troca-e-volta nós mudamos o canto superior aplicando um reposicionamento. Mas não qualquer reposicionamento e sim um específico, que preserve as duas camadas inferiores. Em otras palavras, um reposicionamento que movimente somente a camada superior que é paralela às outras duas, como ilustra a Figura 9.3b. Com esse reposicionamento colocamos outro canto no lugar do primeiro e então revertemos o vai-troca-e-volta. Fazendo isso as camadas inferiores voltam à sua condição original exceto o primeiro canto. Perceba que a reversão do vai-troca-e-volta não afeta a camada superior. Então, finalmente, revertemos o reposicionamento e a camada superior retorna à sua condição inicial, exceto os dois cantos que participaram do reposicionamento.

Abracadabra! Encontramos um procedimento para trocar de lugar somente 3 cantos!

Para entender melhor veja o exemplo na Figura 9.4. Nesse caso queremos que o canto rosa tome o lugar do canto cinza. Como sabemos que os cantos são sempre trocados em trios, isso significa que, necessariamente, o canto cinza ocupará o lugar de outro, por exemplo, o verde, e este por sua vez o lugar do rosa.

Vamos usar a camada superior (U) para o reposicionamento e a inferior (D) para a troca/destroca. A camada da frente (F) será usada para o “vai e volta” entre essas camadas. Os movimentos de “vai e volta” serão, necessariamente, F e F’ pois sabemos que a camada do “vai e volta” não pode conter a peça desejada. A cada passo da seqüência abaixo clique em avançar (⧐) na Figura 9.4 para observar o que ocorre:

F (é o "vai" do procedimento 1)
D' (é a “troca” do procedimento 1)
F' (é a “volta” do procedimento 1)
U (é o “reposicionamento” do procedimento 2)
F (é a repetição do “vai” do procedimento 1)
D (é a “destroca” do procedimento 1)
F' (é a repetição da “volta” do procedimento 1)
U' (“desfaz o reposicionamento” do procedimento 2)

Para ver a sequência completa clique em iniciar (|◁) na Figura 9.4 e depois em play (▷).

Se você prestar atenção perceberá que a camada superior (U) e a camada inferior (D) na verdade são usadas para trocas e destrocas. A camada da frente (F) é usada para movimentos de vai-e-volta entre essas camadas U e D, que são paralelas entre si.

Resumindo: F ("vai") D' ("troca") F'("volta") U("troca") F ("vai") D ("destroca") F'("volta") U' ("destroca")

ou, simplesmente, F D' F' U F D F' U' (vai - troca - volta - troca --- vai - destroca - volta - destroca)

Perceba que não importa quais são os 3 cantos escolhidos. Você só precisa identificar quais são as camadas paralelas para "troca/destroca" e qual será a camada perpendicular entre elas para os movimentos de “vai e volta”. Sem decorar qualquer algoritmo.

Note também que a primeira peça a ir para o lugar de destino fica sozinha em uma camada de troca. A outra camada de troca (que corresponde ao reposicionamento inicial) contém as outras duas peças. Isso define qual será a camada perpendicular usada para os movimentos de “vai e volta”.

O primeiro lugar a receber a troca é o lugar da peça cinza (2a peça), na Figura 9.5, enquanto que a primeira peça a trocar de lugar é a peça rosa (1a peça).

As camadas paralelas para as trocas são a superior (U) e a inferior (D), ou seja, as camadas coloridas na Figura 9.5.

A camada usada para o "vai e volta" e que, ao mesmo tempo, faz a intersecção com as camadas paralelas, é a camada da frente (F), marcada com o centro branco na Figura 9.5.

Resumo da idealização e aplicação de um comutador para 3 peças:

escolha as 3 peças que serão trocadas de lugar
defina qual lugar (2^a peça) receberá a 1^a peça
a 3^a peça deve ficar na mesma camada da 2^a que é paralela à camada da 1^a (faça um reposicionamento se necessário)
identifique a camada perpendicular para o “vai e volta”, ela só deve conter a 2^a peça
comece o comutador com a 2^a peça (destino inicial) “indo” para a camada da 1^a peça
os movimentos são: vai - troca - volta - troca --- vai - destroca - volta - destroca
desfaça qualquer reposicionamento feito no início, antes do comutador